삼각형 닮음 서술형 풀이 쓰는 법 | AA·SAS·SSS 증명과 비례식 예제

닮음 문제의 서술형 풀이에는 두 부분이 필요합니다.

① 두 삼각형이 닮음임을 설명하기

② 대응변의 비로 필요한 값을 구하기

 

계산부터 시작하지 말고, 아래 순서에 따라 풀이를 작성해보세요.

 

1. 닮음조건 세 가지를 정확히 구분하기

 

AA 닮음

두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 닮음입니다. 삼각형의 내각의 합이 180°이므로 나머지 한 쌍의 각도 자동으로 같아집니다.

 

SAS 닮음

두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 두 변 사이의 끼인각의 크기가 같아야 합니다.

변의 비 두 개와 아무 각 하나를 확인하는 조건이 아닙니다.

 

SSS 닮음

세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같아야 합니다.

두 쌍만 확인했다면 SSS 닮음이라고 결론낼 수 없습니다.

 

2. AA 닮음: 각이 같은 근거부터 쓰기

 

삼각형 ABC에서 D는 변 AB 위, E는 변 AC 위의 점이고 DE∥BC라고 합시다.

 

풀이 예시

DE∥BC이므로 ∠ADE=∠ABC이다. (동위각)

∠DAE=∠BAC이다. (공통인 각)

따라서 △ADE∽△ABC이다. (AA 닮음)

 

삼각형의 이름을 쓸 때는 반드시 대응 순서를 맞춥니다.

△ADE∽△ABC → AD↔AB, AE↔AC, DE↔BC

 

3. SAS 닮음: 비와 끼인각을 함께 확인하기

 

두 삼각형 ABC와 DEF에서 다음이 주어졌다고 합시다.

· AB=8, BC=10

· DE=12, EF=15

· ∠ABC=∠DEF=50°

 

풀이 예시

AB : DE = 8 : 12 = 2 : 3

BC : EF = 10 : 15 = 2 : 3

또한 두 변 사이의 끼인각인 ∠ABC와 ∠DEF의 크기가 같다.

따라서 △ABC∽△DEF이다. (SAS 닮음)

 

이 예제에서 확인할 각은 B와 E입니다. 비교한 두 변이 만나는 꼭짓점이기 때문입니다.

 

4. SSS 닮음: 세 비를 같은 방향으로 쓰기

 

다음 두 삼각형을 비교해봅시다.

· △ABC: AB=6, BC=8, CA=10

· △DEF: DE=9, EF=12, FD=15

 

풀이 예시

AB : DE = 6 : 9 = 2 : 3

BC : EF = 8 : 12 = 2 : 3

CA : FD = 10 : 15 = 2 : 3

세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같으므로

△ABC∽△DEF이다. (SSS 닮음)

 

한 비만 거꾸로 쓰지 않도록 주의하세요. 작은 삼각형 : 큰 삼각형으로 시작했다면 끝까지 같은 방향을 유지합니다.

 

5. 닮음비로 길이 구하기

 

앞의 AA 예제에서 AD=6, AB=10, BC=15라면,

AD : AB = DE : BC

이므로

6 : 10 = DE : 15

10×DE = 6×15

따라서 DE=9입니다.

 

만약 문제에서 AD 대신 DB=4를 주었다면 먼저

AD=AB−DB=10−4=6

을 계산해야 합니다.

 

부분 길이와 전체 길이를 구별하는 것이 비례식의 출발점입니다.

 

6. 제출 전 확인할 항목

 

· 각이 같은 이유를 적었는가?

· SAS에서 끼인각을 확인했는가?

· SSS에서 세 쌍의 비를 모두 확인했는가?

· 삼각형 이름의 대응 순서가 맞는가?

· 비례식의 양쪽이 같은 방향인가?

· 부분 길이와 전체 길이를 혼동하지 않았는가?

 

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문제의 설명을 듣기 전에 먼저 풀이를 써보고, 내 풀이에서 빠진 근거와 대응 순서를 비교하며 활용해보세요.

 

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