중1·중2 2학기 중간고사 도형 총정리 | 위치관계·외심내심·작도합동·사각형

중1·중2 2학기 중간고사 범위에서 점수 차가 가장 크게 벌어지는 도형 네 단원을 한 번에 정리했습니다. 시험 직전 점검용으로 쓰시면 됩니다.

 

1부. 중1 점·선·면·각과 위치관계

 

교점과 교선

 

교점은 선과 선, 또는 선과 면이 만나서 생기는 점입니다. 교선은 면과 면이 만나서 생기는 선입니다. 입체도형에서 교점의 개수는 꼭짓점의 개수, 교선의 개수는 모서리의 개수와 같습니다.

 

평면에서 두 직선의 위치관계

 

한 점에서 만난다 / 평행하다 / 일치한다. 세 가지뿐입니다.

 

공간에서 두 직선의 위치관계

 

한 점에서 만난다 / 평행하다 / 꼬인 위치에 있다.

 

꼬인 위치는 만나지도 않고 평행하지도 않은 경우입니다. 평면에서는 없고 공간에서만 생깁니다. 직육면체를 그려놓고 한 모서리를 기준으로 나머지를 분류해보면 바로 잡힙니다.

 

직선과 평면, 두 평면

 

직선과 평면 : 포함된다 / 한 점에서 만난다 / 평행하다

두 평면 : 만난다(교선이 생긴다) / 평행하다

 

동위각과 엇각

 

맞꼭지각은 두 직선이 만나면 언제나 같습니다. 반면 동위각과 엇각은 두 직선이 평행할 때만 같습니다. 평행 조건이 없는데 같다고 쓰면 오답입니다.

 

2부. 중2 삼각형의 외심과 내심

 

외심과 내심의 정의

 

외심 : 세 변의 수직이등분선이 만나는 점. 세 꼭짓점까지 거리가 같고, 외접원의 중심입니다.

내심 : 세 각의 이등분선이 만나는 점. 세 변까지 거리가 같고, 내접원의 중심입니다.

 

외심은 꼭짓점까지, 내심은 변까지. 이 한 줄이 핵심입니다.

 

외심의 위치

 

예각삼각형 : 삼각형 내부

직각삼각형 : 빗변의 중점

둔각삼각형 : 삼각형 외부

 

내심은 어떤 삼각형이든 항상 내부에 있습니다.

 

중심각 공식 유도

 

외심 O에 대해 각 BOC = 2 × 각 A 입니다. OA, OB, OC의 길이가 같아 이등변삼각형이 세 개 생기고, 그 밑각을 정리하면 나옵니다.

 

내심 I에 대해 각 BIC = 90도 + (각 A) ÷ 2 입니다. 각 B와 각 C가 반으로 줄어드는 것을 삼각형 IBC의 내각의 합으로 정리하면 나옵니다.

 

유도 과정을 한 번이라도 손으로 해보면 변형 문제에서 막히지 않습니다. 결과만 외우면 각도가 조금 바뀌어도 손을 못 댑니다.

 

내접원과 넓이

 

삼각형의 넓이 S, 내접원 반지름 r, 세 변의 길이 합의 절반 s에 대해 S = r × s 가 성립합니다. 내심에서 세 변까지 거리가 같다는 성질로 삼각형을 셋으로 쪼개면 유도됩니다.

 

3부. 중1 작도와 합동

 

작도의 의미

 

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 그리는 것입니다. 자는 선을 잇는 데만, 컴퍼스는 길이를 옮기거나 원을 그리는 데만 씁니다. 각도기와 눈금은 쓰지 않습니다.

 

삼각형이 하나로 정해지는 조건

 

세 변의 길이가 주어질 때

두 변의 길이와 그 끼인각이 주어질 때

한 변의 길이와 그 양 끝 각이 주어질 때

 

이 세 가지가 그대로 합동조건 SSS, SAS, ASA가 됩니다. 합동조건은 외울 대상이 아니라 작도에서 나온 결과입니다.

 

SSA는 왜 안 되는가

 

두 변과 끼인각이 아닌 각이 주어지면 조건을 만족하는 삼각형이 두 개 그려질 수 있습니다. 하나로 정해지지 않으므로 합동조건이 아닙니다. 서술형에서 SSA를 쓰면 그 순간 오답입니다.

 

세 변의 길이가 주어져도 삼각형이 안 되는 경우

 

가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 크거나 같으면 삼각형이 만들어지지 않습니다. 작도 문제에서 자주 묻습니다.

 

서술형 채점 기준

 

결론만 쓰면 점수가 안 나옵니다. 대응하는 변과 각을 정확히 표기하고, 어떤 합동조건을 썼는지 밝히고, 그 조건이 성립하는 근거를 적어야 만점입니다.

 

4부. 중2 여러가지 사각형

 

평행사변형의 성질 네 가지

 

두 쌍의 대변이 각각 평행하다 (정의)

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다

 

평행사변형이 되는 조건 다섯 가지

 

위 네 가지에 한 가지가 더 붙습니다. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

 

이 마지막 조건이 함정입니다. 평행하기만 하거나 길이만 같으면 평행사변형이 아닙니다. 같은 한 쌍에서 두 조건이 동시에 성립해야 합니다.

 

성질과 조건은 방향이 반대입니다

 

성질은 평행사변형이라는 전제에서 결과를 끌어내는 것이고, 조건은 결과에서 평행사변형임을 결론내는 것입니다. 증명 문제는 조건을 묻는데 성질을 가져다 쓰면 논리가 거꾸로 돌아가 점수가 안 나옵니다.

 

사각형의 포함 관계

 

사다리꼴에서 시작해 조건이 하나씩 붙으며 좁혀집니다.

 

평행사변형 + 한 내각이 직각 = 직사각형

평행사변형 + 이웃한 두 변의 길이가 같다 = 마름모

직사각형 + 이웃한 두 변의 길이가 같다 = 정사각형

마름모 + 한 내각이 직각 = 정사각형

 

대각선으로 구분하면 더 빠릅니다. 길이가 같으면 직사각형 계열, 수직으로 만나면 마름모 계열, 둘 다면 정사각형입니다.

 

중점을 연결한 사각형

 

어떤 사각형이든 네 변의 중점을 순서대로 이으면 평행사변형이 됩니다. 원래 사각형의 대각선이 길이가 같으면 마름모, 수직이면 직사각형, 둘 다면 정사각형이 됩니다.

 

5부. 단원별 자주 틀리는 포인트

 

위치관계 : 꼬인 위치를 머리로만 생각하면 반드시 틀립니다. 직육면체를 그려서 분류하세요.

동위각·엇각 : 평행 조건을 확인하지 않고 같다고 쓰는 경우.

외심·내심 : 둘을 바꿔 쓰는 경우. 수직이등분선은 변에서, 각의 이등분선은 꼭짓점에서 출발한다는 것으로 구분하세요.

각 BIC 공식 : 유도 없이 외워서 변형 문제에서 막히는 경우.

작도·합동 : SSA를 쓰는 경우, 근거를 안 쓰는 경우.

사각형 : 성질과 조건을 거꾸로 쓰는 경우, 한 쌍 조건에서 평행과 길이 중 하나만 확인하는 경우.

 

실시간으로 같이 정리하고 싶다면

 

단원별 90분 라이브 수업을 진행합니다. 라이브 후 녹화본을 제공하므로 당일 참여가 어려워도 복습할 수 있습니다.

 

중1 점·선·면·각, 위치관계

https://math.seulchan-edu.co.kr/classes/318781

슬찬원격학원 슬찬수학

 

중2 삼각형의 외심과 내심

https://math.seulchan-edu.co.kr/classes/318788

슬찬원격학원 슬찬수학

 

중1 작도와 합동

https://math.seulchan-edu.co.kr/classes/318784

슬찬원격학원 슬찬수학

 

중2 여러가지 사각형

https://math.seulchan-edu.co.kr/classes/318789

슬찬원격학원 슬찬수학

 

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